Zastanawiałem się ostatnio, do czego możnaby porównać matematykę. Pierwsze skojarzenie: klocki Lego. Z drobnych cegiełek układamy większe konstrukcje, z nich jeszcze większe… No i tyle. Problem w tym, że w matematyce z tych większych układamy jeszcze większe i proces trwa i trwa  – w przeciwieństwie do klocków Lego, gdzie aż tak skomplikowanych rzeczy się nie robi.

Można porównać matematykę z literaturą. Układamy litery w słowa, słowa w zdania, zdania w akapity, te zaś w rozdziały, książkę. Dalej idąc – książki grupujemy w cykle, wszystko to siedzi w bibliotece. Koniec. Tutaj proces „grupowania” mniejszych elementów w większe można ciągnąć nieco dłużej, to porównanie ma również tę zaletę, że w różnych powieściach zdarza nam się spotkać podobne sceny, motywy, postaci i dialogi – również w matematyce w wielu różnych miejscach mamy do czynienia z dejavu – przecież coś podobnego do tego dowodu mieliśmy już na zupełnie innym wykładzie, w zupełnie innym zagadnieniu!

Jednak i ta przenośnia nie jest doskonała. Nie oddaje złożoności matematyki i tego, że w tej dziedzienie podobnym zasadom podlegają często coraz to bardziej skomplikowane struktury. Przykładowo – możemy dodawać liczby, zbiory, grupy, pierścienie, ciała, funkcje, i wiele innych tworów – i w każdym wypadku to dodawanie będzie działało w podobny sposób.

Myślę, że matematyka jest jak fraktal. Uprawianie matematyki można porównać do wchodzenia coraz bardziej w głąb poszczególnych „nitek” takiego na przykład mandelbrotowego „żuka”. Oglądając przybliżanie się takiego fraktala, można zauważyć pewne prawidłowości – niektóre fragmenty wydają się już być znajome, inne przypominają całość. Przybliżać można bez końca.

Matematyka jest zbudowana na abstrakcji. Mamy twór A, tworzymy teorię w której te twory służą nam do konstrukcji tworów B i zanim się obejrzemy, musimy używać już Z i alfa, bo skończył się alfabet. O ile w przypadku obiektów A (na przykład liczb naturalnych) dość łatwo jest sobie wszystko „wyobrazić”, o tyle po budowie kolejnych warstw abstrakcji (kolejnych przybliżeń wybranej nitki fraktala) ciężko jest sobie znaleźć jakąś analogię do świata który znamy (jedynie analogie do poprzednich obrazów – nitek).

… jest wielka ciemność i jest koło światła i średnica tego koła się powiększa. A na obwodzie robotnicy jasności, mróweczki prawdy, my naukowcy.

Dukaj – „Czarne Oceany”

Czy więc matematyka odrywa się od życia? Niedukaj do końca. Są dwie możliwości. W pierwszej to fizycy rozwijają matematykę, aby znaleźć lepsze narzędzie do opisu swoich teorii. Oczywiście wówczas teorie matematyczne znajdują odwzorowanie w rzeczywistości, która nas otacza.

Ciekawszy jest jednak drugi przypadek. Zdarza się, że matematycy rozwijają jakąś teorię, która na pierwszy rzut oka nie ma zbyt dużo wspólnego ze znaną nam rzeczywistością (a czasem ze zdrowym rozsądkiem). Pierwszy przykład to liczba urojona. Rafael Bombelli rozwiązywał kiedyś jakieś dziwne równanie – dziwne dlatego, że żeby je rozwiązać musiał podstawić zmienną i, taką, że i²=-1. Oczywiście nie ma takiej i (nazwę „liczba urojona” wymyślił Kartezjusz, aby dobitnie to zaznaczyć). Bombelli założył jednak, że jest i dalejże – rozwiązywać równanie! Rozwiązał i osiągnął poprawne rezultaty. Po kilkuset latach okazało się, że liczby zespolone (czyli kombinacje liczb które znamy i tych urojonych) są niezbędne, aby opisać świat który nas otacza – są powszechnie używane w fizyce i astronomii.

Na wydziale ostatnio usłyszałem, że pewna firma poszukująca ropy naftowej z Holandii zatrudniła matematyka. Matematyk zauważył, że wyniki badań gruntu dają się analizować przy użyciu jakichś bardzo abstrakcyjnych teorii algebraicznych. Powstała firma zarobiła kupę pieniędzy.

Często podczas rozmów z kolegami słyszę, że taka kupa matematyki na studiach informatycznych jest niepotrzebna. Może i zamiast kolejnego wykładu z analizy II lepiej byłoby pouczyć się jakichś Railsów lub skernelować kompila. Jednak ja nie żałuję – zapewne nigdy więcej nie będę już miał okazji poznać tej interesującej dziedziny.

P.S. Wesołych świąt 🙂