Obie książki mają dość podobną strukturę. Są zbiorem anegdot (nie zawsze wesołych) z życia fizyka, zapisanych w autobiograficznym stylu. Dowiemy się z nich więc jak Feynman dla zabawy otwierał wojskowe sejfy i jaki jest niezawodny sposób na podryw w barze. Z rzeczy poważniejszych niezwykle interesująca jest relacja z prac komisji badającej katastrofę promu kosmicznego Challenger. Feynman jako jeden z nielicznych członków komisji podszedł do sprawy systematycznie i wskazał nie tylko bezpośrednią przyczynę awarii (zrobił to na konferencji prasowej, za pomocą kawałka gumy i wody z lodem), ale też fakt, że zarząd NASA świadomie ignorował ostrzeżenia inżynierów. Kolejną ciekawą historią jest opis wyprawy do Brazylii (gdzie studenci wszystko pamiętali, ale nic nie rozumieli) i relacja z prac innej komisji — mającej na celu opiniowanie szkolnych podręczników do fizyki. W tej ostatniej anegdocie naukowiec odrzucił wszystkie podręczniki, wskazując absurd i błędy merytoryczne każdego z nich. Okazał się przy tym jedynym członkiem komisji, który rzeczywiście zajrzał do książek.

Ze wszystkich opowiadań przebija ogromna ciekawość świata, ale też bezkompromisowość i brak uznania dla autorytetów. Jeśli ktoś opowiadał bzdury, Feynman zawsze się sprzeciwiał (często gwałtownie). Nie miało przy tym znaczenia, czy owe bzdury dotyczyły fizyki i matematyki czy filozofii lub sztuki. No i zwykle miał rację. Z drugiej strony widać ogromny szacunek dla nauki, jako dla systematycznej metody (jedynej zresztą) poznawania materialnego świata. Takie spojrzenie na świat i naukę jest zaraźliwe — więc uważajcie, żeby lektura nie skończyła się jakimiś studiami doktoranckimi A w Polityce był ostatnio artykuł o Feynmanie (i m.in. o tych dwóch książkach) — warto zajrzeć.

Wpadłem na pewien pomysł. Powiedziałem [do matematyków]:
— Założę się, że jeżeli podacie mi założenia i wytłumaczycie mi twierdzenie w zrozumiałych dla mnie pojęciach, w stu przypadkach na sto potrafię wam od razu powiedzieć, czy twierdzenie jest prawdziwe.
[...]
Zawsze wygrywałem. [...] Moje zgadywanie nie było tak zupełnie wzięte z sufitu. Miałem pewną metodę, którą do dziśstosuję, kiedy ktoś stara się coś mi wytłumaczyć: krok po kroku wyobrażam sobie przykłady. Matematycy podawali przykład jakiegoś genialnego twierdzenia, którym się strasznie ekscytowali. Gdy wymieniali założenia, ja budowałem sobie konstrukcję, która je wszystkie spełniała. Gdy była mowa o zbiorze, podstawiałem sobie w głowie piłkę, gdy o zbiorach rozłącznych – dwie piłki. Potem, w miarę przybywania warunków, piłki przybierały w mojej głowie różne kolory, porastały włosami et cetera. Potem matematycy recytowali jakieś durne twierdzenie, które nie było prawdziwe dla mojej włochatej zielonej piłki, więc mówiłem: „Fałszywe!”.

Ostatnio znalazłem bardzo fajną stronę, z ponad dwoma setkami zadań matematyczno-informatycznych. Zazwyczaj zadanie takie składa się z krótkiego wprowadzenia i zagadki, na którą trzeba odpowiedzieć wprowadzając jedną liczbę. Cudo to nazywa się Project Euler i jest naprawdę wciągające dla osób, które lubią takie łamigłówki i znają chociażby podstawy programowania w dowolnym języku. Zadanie pierwsze można jeszcze od biedy policzyć na kartce:

Jeśli wypiszemy wszystkie liczby naturalne poniżej 10 które są wielokrotnościami 3 lub 5, otrzymamy 3, 5, 6 i 9. Ich suma to 23.

Znajdź sumę wielokrotności 3 lub 5 mniejszych od 1000.

Ale z kolejnym nie byłoby już tak łatwo:

Każdy nowy wyraz w ciągu Fibonacciego jest utworzony poprzez dodanie do siebie dwóch poprzednich wyrazów. Rozpoczynając od 1 i 2, pierwsze 10 wyrazów to:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Znajdź sumę wszystkich parzystych wyrazów ciągu które nie przekraczają 4 milionów.

Naprawdę fajna i wciągająca sprawa. Można potrenować znajomość języka programowania, algorytmów, matematyki i angielskiego. Ja rozwiązałem już 50 problemów (co przy 254 zagadkach nie jest niczym imponującym), ale staram się dalej

Jest godzina czwarta nad ranem, kiedy w naszym mieszkaniu w Salerno rozbłyskuje ekran telewizora. Pierwszy człowiek, Armstrong, w tej chwili stawia stopę na Księżycu. Za nim jego towarzysz; obraz jest ostry, wyrazisty. Przysnąłem trochę w ciągu tego długiego czuwania, teraz przecieram oczy, odpędzam senność, mrugam powiekami. Robię to razem z setkami milionów ludzi, którzy widzą na własne oczy i słyszą na własne uszy, jak dwóch ludzi staje na Księżycu. Zaskakuje mnie, że nie znajduję w sobie uczucia entuzjazmu. Może dlatego, że ta chwila przekracza próg wyobraźni, widzę coś, na co świadomość nie potrafi już automatycznie odpowiedzieć? Armstrong i jego towarzysz niezgrabnie, słoniowato gramolą się z rakiety, zataczając się, w kangurzych podskokach odtańcowują księżycowy balet.

W gazetach, w radio i telewizji skrzypi retoryka lądowania na Księżycu. „Człowiek wyruszył w Kosmos, zwyciężając grawitację, przekroczył wymiar Czasu i Przestrzeni…” „Człowiek otrzymał w świecie nowe zadanie…” Wspomnienie, które zachowałem z porannej godziny, jest, nie wiadomo dlaczego, przygnębiające. Los Człowieka związany jest z Ziemią i jakkolwiek by się wysilał, musi pozostać Człowiekiem tu, na Ziemi.

Sándor Márai, Dzienniki

Okazuje się, że komputerom czasem przydałoby się nieco nieprzewidywalności. Kiedy grasz w Sapera, to liczysz na to, że miny będą za każdym razem w innych miejscach – inaczej gra byłaby równie ciekawa, jak rozmowa z zegarynką. Odrobina nieprzewidywalności przydaje się też w poważniejszych sytuacjach. Gdy kupujesz w Internecie roczny zapas Pepsi, wpisując swój numer karty kredytowej, to naprawdę liczysz na to, że nikt inny tych danych nie podejrzy. Komputer szyfruje całą Twoją komunikację, wykorzystując pewne dane losowe jako tak zwany klucz.

Komputer. Dane losowe. Jest w tych dwóch sformułowaniach jakaś sprzeczność (coś jakby „Mój Nudny Znajomy Z Imprezy” i „Rowerowa Wycieczka Po Pustyniach Ameryki Południowej”). Komputer wykonuje ścisłe polecenia: weź tę liczbę, dodaj to tamtej, pomnóż wynik i wyświetl to na ekranie. Te operacje łatwo mu zdefiniować. Ale jak zmusić go, by coś wylosował? Odpowiedź jest bardzo prosta: nie da się.

Po prostu, nie da się zapisać algorytmu losowania liczby, dlatego, że liczba losowa z definicji nie jest generowana żadnym algorytmem. Oczywiście miłośnicy Sapera odezwą się: hola hola, przecież komputer układa mi te miny za każdym razem w inny, losowy sposób. Prawda. Jednak nie jest to sposób losowy, a pseudolosowy. Coś jak z tą demokracją i demokracją ludową.

Istnieją pewne funkcje matematyczne, których kolejne wartości są bardzo dziwne, pozornie niezwiązane ze sobą. Nie tak jak stary dobry sinus, co się wiecznie powtarza, czy logarytm, który nie chce dorosnąć. Są to dziwne funkcje, których wartość raz wynosi 12, w kolejnym kroku 54 a za chwilę znowu 37. Ktoś kto przyjrzałby się z boku takiej funkcji, nie znając jej wzoru, krzyknąłby: „te liczby nie mają żadnego związku, wyglądają jakby były losowe”. Słusznie, takie jest ich zadanie.

Komputery, gdy prosi się je, by podały nam liczbę losową, podają po prostu kolejną wartość takiej funkcji. A my, naiwni, wierzymy, że wartość ta rzeczywiście jest dziełem przypadku. Warto zwrócić uwagę, że każda taka funkcja losowa musi od czegoś zacząć. Inaczej mówiąc: musimy komputerowi podać pierwszą liczbę (ziarno), żeby na jej podstawie wygenerował kolejną. Jeśli podamy dwa razy tę samą liczbę jako ziarno, wówczas otrzymamy ten sam rozkład min na mapie. Ziarno więc powinno być w jakiś sposób losowe.

Dochodzimy do punktu wyjścia: skąd do … wziąć liczbę, którą podamy jako owe ziarno? Można użyć się na przykład bieżącego czasu (Saper uruchomiony o tej samej godzinie na innym komputerze będzie miał miny w tym samym miejscu), dla kolegów informatyków zapiszę ten pomysł jako

srand(time(NULL));

Inni używają na przykład temperatury procesora, czy danych na temat brzęczenia dysku twardego – uciekamy się więc do świata rzeczywistego, który jest naprawdę nieprzewidywalny (świetnym przykładem jest MZK Toruń, w szczególności linia nr 15). Wszystko to jednak nieco koślawe.

W świecie Internetu można by w elegancki sposób rozwiązać ten problem. Dlaczegóż by nie posadzić 100 osób, by rzucały setką kostek do gry, wpisywały wyrzucone liczby do komputera i zamieszczały je w Internecie, jako liczby rzeczywiście losowe, które każdy mógłby sobie ściągnąć? Pomysł ten został zresztą zrealizowany (z tym, że bez kostek, no i bez 100 osób).

Każde dziecko wie, że najbardziej nieprzewidywalną rzeczą na świecie jest pogoda (no, oprócz kobiet, ale je ciężko podłączyć do komputera). Wiedzą to i twórcy serwisu random.org, który pobiera tak zwany szum atmosferyczny i przetwarza go na eleganckie liczby. Serwis Prawdziwie Losowych Liczb – oto slogan owej strony (brzmi niczym nazwa strony z ocenami z egzaminu z Programowania Równoległego).

Od pogody jest jednakże coś bardziej nieprzewidywalnego – jest to atom promieniotwórczy. Ha! Zabrzmiało groźnie. Otóż taki atom promieniotwórczy może się rozpaść. Może też się nie rozpaść. O tym, czy w danej chwili atom się rozpadnie czy nie, wie tylko on sam. My, jako ludzie XXI wieku znamy prawdopodobieństwo zajścia jednego lub drugiego zdarzenia, ale to wszystko. Taki atom świetnie zastępuje osobę rzucającą kostką do gry, a urządzenie z większą ilością atomów mądrzy ludzie podłączyli do komputera i wyniki przesyłają na żądanie w serwisie hotbits. Atomowy saper – to jest gra warta napisania.

OK, wszyscy humaniści mogą się już oddalić, zaś miłośnikom języka Ruby polecam bibliotekę RealRand, która daje wygodny interfejs do obu serwisów:

require 'random/online'

generator1 = Random::RandomOrg.new
generator1.proxy_host = 'your.proxy.here'
generator1.proxy_port = 8080
generator1.proxy_usr  = 'your.user.here'
generator1.proxy_pwd  = 'secret'
puts generator1.randbyte(5).join(",")
puts generator1.randnum(100, 1, 6).join(",")  # Roll the dice 100 times.

Studiuję na wydziale, którego chlubą są specjaliści od algebry. Być może kojarzycie ze szkoły – zamiast cyferek podstawiamy literki i rozwiązujemy równania. Algebra bardziej zaawansowana porusza tematykę m.in. grup i pierścieni – dziś miałem egzamin, na którym mogłem wykazać się posiadaną z tej dziedziny wiedzą (fakt 1).

Co więcej, wiele osób zastanawia się po cóż nam – przyszłym gwiazdom informatyki – ta algebra jest. Niektórzy twierdzą, żę się przydaje (choć przykłady są dość skomplikowane), inni – że w życiu nie zastosowali tej wiedzy w praktyce. W każdym razie jest to pewien problem (fakt 2).

No i bardzo lubię film Pulp Fiction (fakt 3).

Teraz weźmy do kupy wszystkie te fakty i dodajmy jeszcze ów supeł, który je łączy – niżej zamieszczony komiks, który wczoraj znalazłem. Opisuje on moją sytuację tak dokładnie, że wersję własnoręcznie przetłumaczoną powiesiłem na tablicy ogłoszeń wspomnianego już przybytku wiedzy. Niech i inni wiedzą, że wiedza o grupach się przydaje – i to bardzo.

Można porównać matematykę z literaturą. Układamy litery w słowa, słowa w zdania, zdania w akapity, te zaś w rozdziały, książkę. Dalej idąc – książki grupujemy w cykle, wszystko to siedzi w bibliotece. Koniec. Tutaj proces „grupowania” mniejszych elementów w większe można ciągnąć nieco dłużej, to porównanie ma również tę zaletę, że w różnych powieściach zdarza nam się spotkać podobne sceny, motywy, postaci i dialogi – również w matematyce w wielu różnych miejscach mamy do czynienia z dejavu – przecież coś podobnego do tego dowodu mieliśmy już na zupełnie innym wykładzie, w zupełnie innym zagadnieniu!

Jednak i ta przenośnia nie jest doskonała. Nie oddaje złożoności matematyki i tego, że w tej dziedzienie podobnym zasadom podlegają często coraz to bardziej skomplikowane struktury. Przykładowo – możemy dodawać liczby, zbiory, grupy, pierścienie, ciała, funkcje, i wiele innych tworów – i w każdym wypadku to dodawanie będzie działało w podobny sposób.

Myślę, że matematyka jest jak fraktal. Uprawianie matematyki można porównać do wchodzenia coraz bardziej w głąb poszczególnych „nitek” takiego na przykład mandelbrotowego „żuka”. Oglądając przybliżanie się takiego fraktala, można zauważyć pewne prawidłowości – niektóre fragmenty wydają się już być znajome, inne przypominają całość. Przybliżać można bez końca.

Matematyka jest zbudowana na abstrakcji. Mamy twór A, tworzymy teorię w której te twory służą nam do konstrukcji tworów B i zanim się obejrzemy, musimy używać już Z i alfa, bo skończył się alfabet. O ile w przypadku obiektów A (na przykład liczb naturalnych) dość łatwo jest sobie wszystko „wyobrazić”, o tyle po budowie kolejnych warstw abstrakcji (kolejnych przybliżeń wybranej nitki fraktala) ciężko jest sobie znaleźć jakąś analogię do świata który znamy (jedynie analogie do poprzednich obrazów – nitek).

… jest wielka ciemność i jest koło światła i średnica tego koła się powiększa. A na obwodzie robotnicy jasności, mróweczki prawdy, my naukowcy.

Dukaj – „Czarne Oceany”

Czy więc matematyka odrywa się od życia? Niedukaj do końca. Są dwie możliwości. W pierwszej to fizycy rozwijają matematykę, aby znaleźć lepsze narzędzie do opisu swoich teorii. Oczywiście wówczas teorie matematyczne znajdują odwzorowanie w rzeczywistości, która nas otacza.

Ciekawszy jest jednak drugi przypadek. Zdarza się, że matematycy rozwijają jakąś teorię, która na pierwszy rzut oka nie ma zbyt dużo wspólnego ze znaną nam rzeczywistością (a czasem ze zdrowym rozsądkiem). Pierwszy przykład to liczba urojona. Rafael Bombelli rozwiązywał kiedyś jakieś dziwne równanie – dziwne dlatego, że żeby je rozwiązać musiał podstawić zmienną i, taką, że i²=-1. Oczywiście nie ma takiej i (nazwę „liczba urojona” wymyślił Kartezjusz, aby dobitnie to zaznaczyć). Bombelli założył jednak, że jest i dalejże – rozwiązywać równanie! Rozwiązał i osiągnął poprawne rezultaty. Po kilkuset latach okazało się, że liczby zespolone (czyli kombinacje liczb które znamy i tych urojonych) są niezbędne, aby opisać świat który nas otacza – są powszechnie używane w fizyce i astronomii.

Na wydziale ostatnio usłyszałem, że pewna firma poszukująca ropy naftowej z Holandii zatrudniła matematyka. Matematyk zauważył, że wyniki badań gruntu dają się analizować przy użyciu jakichś bardzo abstrakcyjnych teorii algebraicznych. Powstała firma zarobiła kupę pieniędzy.

Często podczas rozmów z kolegami słyszę, że taka kupa matematyki na studiach informatycznych jest niepotrzebna. Może i zamiast kolejnego wykładu z analizy II lepiej byłoby pouczyć się jakichś Railsów lub skernelować kompila. Jednak ja nie żałuję – zapewne nigdy więcej nie będę już miał okazji poznać tej interesującej dziedziny.

P.S. Wesołych świąt

Rzeczą, która mnie ostatnio zainteresowała (pod wpływem tego artykułu) są kwantowe komputery. Myśl o tym, że jakiś komputer może być w 2ⁿ pozycji na raz (gdzie n to ilość bitów, czy raczej bitów kwantowych – qubitów) jest całkiem inspirująca. Zresztą, powstało już parę przydatnych algorytmów na takie hipotytczne komputery, najbardziej znany to algorytm Shora. W wyżej wspomnianym artykule autor używa Pythonowej implementacji symulatora kwantowego komputera o nazwie qcs. Ponieważ o implementacji tej nie ma w necie zbyt dużo (w sumie, to znalazłem tylko dwie PDF-ki), ponadto napisana w języku którego nie znam, a przede wszystkim dlatego, że może to być fajne, postanowiłem napisać symulator w Ruby. Oto i rquantum. Mam nadzieję, że sprytne google’owe boty pokażą projekt komuś, komu może się przydać – osobiście niestety nie znam takiej osoby . Ale programowało się fajnie .

Zadziwiający dla mnie jest fakt, że w celu opisania działania ludzkiego umysłu, trzeba powoływać się na tak wiele nowych i zaawansowanych teorii. Jednak nawet te zaawansowane teorie nie wystarczają, aby w pełni wyjaśnić jak to się dzieje, że człowiek potrafi wymyśleć takie rzeczy i rozwiązać takie problemy, których setka komputerów nie rozwiąże nigdy.

Człowiek jest więc zwieńczeniem stworzenia, umysł jest bytem korzystającym z najbardziej zaawansowanych (a może właśnie najbardziej pierwotnych i podstawowych) właściwości naszego świata. Czy istnieją nauki bardziej humanistyczne niż nauki ścisłe, skoro matematyka i fizyka pozwalają nam dojść do takich właśnie wniosków?

Na szczęście teraz mam dostęp do Wikipedii, a także znam już liczby zespolone – okazuje się, że nic więcej nie potrzeba, by zrozumieć, czym jest fraktal i jak go narysować. Jeśli jednak drogi czytelniku nie wiesz, czym są liczby zespolone, to nie przejmuj się tym za bardzo. Na użytek poniższego tekstu możemy przyjąć po prostu, że liczba zespolona określa pewien punkt na płaszczyźnie (tak jak liczba rzeczywista określa pewien punkt na prostej). Liczby zespolone najczęściej zapisuje się tak: , lub tak: . Liczba ma taką ciekawą właściwość, że podniesiona do kwadratu daje : . Wiedza ta przyda nam się do wyprowadzenia wzoru na kwadrat liczby zespolonej, który to wzór jest niezbędny do narysowania ładnego fraktala: .

Wiemy już, czym są liczby zespolone, jak można taką liczbę podnieść do kwadratu, możemy więc określić, czym jest zbiór Mandelbrota. Otóż, zbiór Mandelbrota, to zbiór takich liczby zespolonych , dla których ciąg określony wzorem rekurencyjnym:

ma określoną granicę (nie dąży do nieskończoności). W praktyce wystarczy sprawdzić, czy punkt określony przez tę liczbę zespoloną, leży w odległości mniejszej od od początku układu współrzędnych (w Wikipedii napisane jest, że dla , a nie dla , ale widocznie działa i tak i tak). Odległość punktu określonego przez liczbę zespoloną od początku układu współrzędnych można dość prosto obliczyć. Dla liczby zespolonej jest to po prostu . Odległość ta nazywa się modułem liczby zespolonej. Moduł ten musi więc wynosić mniej niż dla pewnej liczby pierwszych wyrazów ciągu . Powstaje oczywiście pytanie: ile tych pierwszych wyrazów trzeba zbadać. Odpowiedź nie jest taka prosta – im mniej wyrazów zbadamy, tym szybszy uzyskamy algorytm, ale z drugiej strony – tym mniej dokładny obraz fraktala powstanie.

Pozostaje jeszcze pytanie o kolory. Fraktale, które widziałem w telewizji były bardzo kolorowe, tymczasem w/w algorytm pozwala nam jedynie domyśleć się, gdzie postawić kropkę, a gdzie jej nie stawiać. Otóż, jeśli w pewnych punktach -ty wyraz ciągu z ma moduł większy od , to możemy sobie zapamiętać i na jego podstawie pokolorować punkt, który aktualnie rozważamy.

„Przepis” na narysowanie fraktalu Mandelbrota jak widać nie jest bardzo skomplikowany, a pozwala uzyskać zadziwiające efekty. Pół godziny pracy w C# zaowocowało następującym obrazkiem:

Jednak to nie koniec. Zachęcony powodzeniem tej operacji, postanowiłem sprawdzić, czy małe Atari poradzi sobie z narysowaniem fraktala (pomyślałem, że wystarczy przedstawienie dwukolorowe). Efektem krótkiego (nieco ponad 20 linijek!) programu w Basicu jest następujący obrazek:

Mimo, że program w Basicu był krótszy niż ten w C# (a może właśnie dlatego), wykonywał się on o wiele dłużej. Uruchomiłem go na emulatorze z opcją Full speed (prędkość 10-krotnie przewyższająca oryginalne Atari), a mimo to obrazek powstawał przez kilkanaście godzin. Może gdyby zakodować to w asemblerze…

Listing programu w Basicu.

Źródła w C#.